学习是一个坚持不懈的过程，走走停停便难有收获。譬如烧开水，在烧到80度是停下来，等水冷了又烧，没烧开又停，这样周而复始，又费精力又费电，非常难喝到水。学习也是一样，学任何一门功课，都不可以只有三分钟热度，而要一鼓作气，每天坚持，久而久之，不论是状元还是伊人，都会向你招手。智学网高中一年级频道为正在好好学习的你整理了《2025高一下册数学教材》，期望对你有帮助！

教学目的：

（1）理解子集、真子集、补集、两个集合相等定义；

（2）知道全集、空集的意义，

（3）学会有关子集、全集、补集的符号及表示办法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力；

（4）会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集；

（5）能判断两集合间的包括、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想；

（6）培养学生用集合的看法剖析问题、解决问题的能力．

教学重点：子集、补集的定义

教学难题：弄清元素与子集、是与包括之间有什么区别

教学用具：幻灯机

教学过程设计

（一）导入新课

上节课大家学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等常识．

（投影打出）

已知，，，问：

1．什么集合表示办法是列举法．

2．什么集合表示办法是描述法．

3．将集M、集从集P用图示法表示．

4．分不要说出各集合中的元素．

5．将每一个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来．将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来．

6．集M中元素与集N有什么关系．集M中元素与集P有什么关系．

1．集合M和集合N；（口答）

2．集合P；（口答）

3．（笔练结合板演）

4．集M中元素有－1，1；集N中元素有－1，1，3；集P中元素有－1，1．（口答）

5．，，，，，，，（笔练结合板演）

6．集M中任何元素都是集N的元素．集M中任何元素都是集P的元素．（口答）

在上面见到的集M与集N；集M与集P通过元素打造了某种关系，而具备这种关系的两个集合在以后学习中会常常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题．

（二）新授常识

1．子集

（1）子集概念：一般地，对于两个集合A与B，假如集合A的任何一个元素都是集合B的元素，大家就说集合A包括于集合B，或集合B包括集合A。

记作：读作：A包括于B或B包括A

当集合A不包括于集合B，或集合B不包括集合A时，则记作：AB或BA．

性质：①（任何一个集合是它本身的子集）

②（空集是任何集合的子集）

能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？

不可以把A是B的子集讲解成A是由B中部分元素所组成的集合．

由于B的子集也包含它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的子集讲解成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的．

（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，假如集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，大家就说集合A等于集合B，记作A=B。

例：，可见，集合，是指A、B的所有元素一模一样．

（3）真子集：对于两个集合A与B，假如，并且，大家就说集合A是集合B的真子集，记作：（或），读作A真包括于B或B真包括A。

能否如此概念真子集：“假如A是B的子集，并且B中至少有一个元素不是A，那样集合A叫做集合B的真子集．”

集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B．

（1）写出数集N，Z，Q，R的包括关系，并用文氏图表示。

（2）判断下列写法是不是正确

①A②A③④AA

性质：

（1）空集是任何非空集合的真子集。若A，且A≠，则A；

（2）假如，，则．

例1写出集合的所有子集，并指出其中什么是它的真子集．

解：集合的所有些子集是，，，，其中，，是的真子集．

（

）子集与真子集符号的方向。

（2）易混符号

①“”与“”：元素与集合之间是是关系；集合与集合之间是包括关系。如R，{1}{1，2，3}

②{0}与：{0}是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合。

如：{0}。不可以写成={0}，∈{0}

例2见教程P8（解略）

例3判断下列说法是不是正确，假如不正确，请加以改正．

（1）表示空集；

（2）空集是任何集合的真子集；

（3）不是；

（4）的所有子集是；

（5）假如且，那样B必是A的真子集；

（6）与不可以同时成立．

解：（1）不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确；

（2）不正确．空集是任何非空集合的真子集；

（3）不正确．与表示同一集合；

（4）不正确．的所有子集是；

（5）正确

（6）不正确．当时，与能同时成立．

例4用适合的符号（，）填空：

（1）；；；

（2）；；

（3）；

（4）设，，，则ABC．

解：（1）00；

（2）＝，；

（3），∴；

（4）A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C．

教程P9

用适合的符号（，）填空：

（1）；（5）；

（2）；（6）；

（3）；（7）；

（4）；（8）．

解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）＝；（6）；（7）；（8）．

提问：见教程P9例子

（二）全集与补集

1．补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不是A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，即

．

A在S中的补集可用右图中阴影部分表示．

性质：S（SA）=A

如：（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则SA={2，4，6}；

（2）若A={0}，则NA=N*；

（3）RQ是无理数集。

2．全集：

假如集合S中含有大家所要研究的每个集合的全部元素，这个集合就能看作一个全集，全集一般用表示．

注：是对于给定的全集而言的，当全集不同时，补集也会不同．

比如：若，当时，；当时，则．

例5设全集，，，判断与之间的关系．

解：∵

∴

∵

∴

∴

训练：见教程P10训练

1．填空：

，，，那样，．

解：，

2．填空：

（1）假如全集，那样N的补集；

（2）假如全集，，那样的补集（）=．

解：（1）；（2）．

（三）小结：本节课学习了以下内容：

1．五个定义（子集、集合相等、真子集、补集、全集，其中子集、补集为重点）

2．五条性质

（1）空集是任何集合的子集。ΦA

（2）空集是任何非空集合的真子集。ΦA（A≠Φ）

（3）任何一个集合是它本身的子集。

（4）假如，，则．

（5）S（SA）=A

3．两组易混符号：（1）“”与“”：（2）{0}与

（四）课后作业：见教程P10习题1.2

1、教学目的

（1）知道含有“或”、“且”、“非”复合命题的定义及其构成形式；

（2）理解逻辑联结词“或”“且”“非”的意思；

（3）可以用逻辑联结词和简单命题构成不同形式的复合命题；

（4）能辨别复合命题中所用的逻辑联结词及其联结的简单命题；

（5）会用真值表判断相应的复合命题的真伪；

（6）在常识学习的基础上，培养学生简单推理的技能．

2、教学重点难题：

重点是判断复合命题真伪的办法；难题是对“或”的意思的理解．

3、教学过程

1．新课导入

在当今社会中，大家从事任何工作、学习，都不能离开逻辑．具备肯定逻辑常识是构成一个公民的文化素质的要紧方面．数学的特征是逻辑性强，尤其是进入高中将来，所学的教学比初中更强调逻辑性．假如不学习肯定的逻辑常识，将会在大家学习的过程中无声无息地常常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些浅易逻辑的常识．

初中一年级平面几何中曾学过命题，请同学们举一个命题的例子．（板书：命题．）

（从初中接触过的“命题”入手，提出问题，进而学习逻辑的有关常识．）

学生举例：平行四边形的对角线互相平．……（1）

两直线平行，同位角相等．…………（2）

教师提问：“……相等的角是对顶角”是否命题？……（3）

（同学议论结果，答案是一定的．）

教师提问：什么是命题？

（学生进行回忆、考虑．）

定义总结：对一件事情作出了判断的语句叫做命题．

（教师一定了同学的回答，并作板书．）

因为判断有正确与错误之分，所以命题有真伪之分，命题（1）、（2）是真命题，而（3）是假命题．

（教师借助投*，和学生讨论以下问题．）

例1判断以下各语句是否命题，如果是，判断其真伪：

命题必须要对一件事情作出判断，（3）、（4）没对一件事情作出判断，所以它们不是命题．

初中所学的命题定义涉及逻辑常识，大家今天开始要在初中学习的基础上，介绍浅易逻辑的常识．

2．讲授新课

大伙看课本（人教版，试验修订本，第一册（上））从第25页至26页例1前，并总结一下这段内容主要讲了什么问题？

（一会儿后请同学举手回答，一共讲了四个问题．师生一道总结如下．）

（1）什么叫做命题？

可以判断真伪的语句叫做命题．

判断一个语句是否命题，重点看这语句有没对一件事情作出了判断，疑问句、祈使句都不是命题．有的语句中含有变量，如中含有变量，在不给定变量的值之前，大家没办法确定这语句的真伪（这种含有变量的语句叫做“开语句”）．

（2）介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”．

“或”、“且”、“非”这类词叫做逻辑联结词．逻辑联结词除这三种形式外，还有“若…则…”和“当且仅当”两种形式．

对“或”的理解，可联想到集合中“并集”的定义．中的“或”，它是指“”、“”中至少一个是成立的，即且；也可以且；也可以且．这与日常“或”的意思不同，比如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能．

对“且”的理解，可联想到集合中“交集”的定义．中的“且”，是指“”、“这两个条件都要满足的意思．

对“非”的理解，可联想到集合中的“补集”定义，若命题对应于集合，则命题非就对应着集合在全集中的补集．

命题可分为简单命题和复合命题．

不含逻辑联结词的命题叫做简单命题．简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不可以再分解成其他命题）的命题．

由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题，如“6是自然数且是偶数”就是由简单命题“6是自然数”和“6是偶数”由逻辑联结词“且”构成的复合命题．

（4）命题的表示：用，，，，……来表示．

（教师依据学生回答的状况作补充和强调，尤其是对复合命题的定义作出剖析和展开．）

大家接触的复合命题一般有“或”、“且”、“非”、“若则”等形式．

给出一个含有“或”、“且”、“非”的复合命题，应能说出构成它的简单命题和弄清它所用的逻辑联结词；应能依据所给出的两个简单命题，写出含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的复合命题．

对于给出“若则”形式的复合命题，应能找到条件和结论．

在判断一个命题是简单命题还是复合命题时，不可以只从字面上来看有没“或”、“且”、“非”．比如命题“等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合”，此命题字面上无“且”；命题“5的倍数的末位数字不是0就是5”的字面上无“或”，但它们都是复合命题．

3．巩固新课

例2判断下列命题，什么是简单命题，什么是复合命题．若是复合命题，指出它的构成形式与构成它的简单命题．

（1）；

（2）0.5非整数；

（3）内错角相等，两直线平行；

（4）菱形的对角线互相垂直且平分；

（5）平行线不相交；

（6）若，则．

（让学生有充分的时间进行辨析．教程中对“若…则…”不作需要，教师可以参考学生的状况作些补充．）

例3写出下表中各给定语的否定语（用课件打出来）．

“大于”的否定语是“小于或者等于”；

“是”的否定语是“不是”；

“都是”的否定语是“不都是”；

“至多有一个”的否定语是“至少有两个”；

“至少有一个”的否定语是“全部都没”；

“至多有个”的否定语是“至少有个”．

（假如时间宽裕，可让学生讨论后得出结论．）

置疑：“或”、“且”的否定是什么？（视学生的状况、课堂时间作适合的辨析与展开．）

4．课堂训练：第26页训练1，2．

5．课外作业：第29页习题1.61，2．